Question

已知n∈N^*，且(x+

1

2

)n展開(kāi)式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．
（1）求n；
（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（3）若(x+

1

2

)n=a0+a1(x-

1

2

)+a2(x-

1

2

)2+…+an(x-

1

2

)n，求a₀+a₁+…+a_n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)通項(xiàng)公式和題中條件求得

C

0 n

+(

1

2

)2

C

2 n

=2(

1

2

C

1 n

)，由此解得n的值．
（2）由（1）知，二項(xiàng)式系數(shù)最大的值為

C

4 8

，為第五項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式求得第五項(xiàng)．
（3）分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和．

解答：解：（1）由于二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r n

 x^n-r•(

1

2

)r=(

1

2

)r•

C

r n

•x^r，
則由題意得

C

0 n

+(

1

2

)2

C

2 n

=2(

1

2

C

1 n

)，…（2分）
解得n=8．…（4分）
（2）由（1）知，二項(xiàng)式系數(shù)最大的值為

C

4 8

，為第五項(xiàng)．…（6分）
且 T5=

C

4 8

x4(

1

2

)4=

35

8

x4．…（8分）
（3）∵(x+

1

2

)8=[(x-

1

2

)+1]8=a0+a1(x-

1

2

)+a2(x-

1

2

)2+…+a8(x-

1

2

)8，…（9分）
令x=

3

2

，…（10分）
得a0+a1+…+a8=28=256．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和，屬于中檔題．