Question

已知三棱錐P-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為2

6

，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,球

分析：根據(jù)平面圖形外接圓的半徑求出三棱錐的棱長(zhǎng)，再根據(jù)棱長(zhǎng)求出高，設(shè)內(nèi)切球的球心為O'，半徑為r，連接三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)得到四個(gè)小三棱錐的體積相等，然后根據(jù)等積法計(jì)算得到半徑r，再由球的表面積公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：根據(jù)題意幾何體為正三棱錐，如圖，設(shè)棱長(zhǎng)為a，
PD=

3

2

a，OD=

3

6

a，OP=

PD2-OD2

=

6

3

a．
則OD+PD=

3

6

a+

3

2

a=

2 3

3

a=2

6

⇒a=3

2

，
V_棱錐=

1

3

×

3

4

a²×

6

3

a=9，
設(shè)內(nèi)切球的球心為O'，半徑為r，
連接三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)得到四個(gè)小三棱錐的體積相等，
即為4×

1

3

×

3

4

a²r=

3

3

×18r=6

3

r．
由等積法，可得，9=6

3

r，
解得，r=

3

2

．
則內(nèi)切球的表面積為S=4πr²=3π．
故答案為：3π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查球的表面積的求法，考查等積法的運(yùn)用，考查三棱錐的體積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．