Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+b，
（1）若f（0）=1，f（-1）=-$\frac{5}{4}$，求f（x）的解析式；
（2）由（1）當0≤x≤2時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=1，f（-1）=-$\frac{5}{4}$，帶入f（x）=4^x+a•2^x+b，求解a，b即可得f（x）的解析式．
（2）利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性求解值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+b，
∵f（0）=1，f（-1）=-$\frac{5}{4}$，
則有$\left\{\begin{array}{l}{1+2a+b=1}\\{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a+b=-\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得：a=3，b=-3．
故得f（x）的解析式為：f（x）=4^x+3•2^x-3．
（2）由（1）可知f（x）=4^x+3•2^x-3，
設(shè)t=2^x，
∵0≤x≤2，
∴1≤t≤4
函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為：y=t²+3t-3，（1≤t≤4），
函數(shù)y開口向上，對稱軸t=-$\frac{3}{2}$
易知函數(shù)t∈[1，4]上遞增，
故當t=1時，有最小值為1；當t=4時，有最大值為25．
故得當0≤x≤2時，函數(shù)f（x）的值域為[1，25]．

點評 本題考查了解析式的求法和轉(zhuǎn)化思想，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解值域問題．屬于基礎(chǔ)題．