Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（

1

an

），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

1

an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若S_n＜

m-2004

2

對一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得an+1=f(

1

an

)=

2+an

3

=an+

2

3

，由此能求出an=

2

3

n+

1

3

．
（2）當n≥2時，b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n+ 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，當n=1時，b₁=3，代入上式成立，由此利用裂項求和法結(jié)合已知條件得到

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

m-2004

2

對一切n∈N^*成立，由此能求出最小正整數(shù)m為2013．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2x+3

3x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，
∴an+1=f(

1

an

)=

2+an

3

=an+

2

3

，
∴{a_n}是首項為1，公差為

2

3

的等差數(shù)列，
∴an=

2

3

n+

1

3

．
（2）當n≥2時，
b_n=

1

an-1an

=

1

( 2 3 n- 1 3 )( 2 3 n+ 1 3 )

=

9

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
當n=1時，b₁=3，代入上式成立，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

9

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

9

2

(1-

1

2n+1

)，
∵S_n＜

m-2004

2

，∴

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

m-2004

2

對一切n∈N^*成立，
又

9

2

(1-

1

2n+1

)沿n遞增，且

9

2

(1-

1

2n+1

)＜

9

2

，
∴

9

2

≤

m-2004

2

，∴m≥2013，
∴最小正整數(shù)m為2013．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查滿足條件的最小正整數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．