Question

如圖，已知四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BD=2，AC與BD交于E點，F(xiàn)是PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AFC；
（2）求多面體PABCF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接EF，利用三角形中位線定理，結合線面平行的判定定理，不難證出PB∥平面AFC．
（II）由等邊三角形面積公式，算出菱形ABCD長，從而得到四棱錐P-ABCD的體積．取AD的中點G，連接GF，可證出FG長為1且是三棱錐F-ACD的高，從而算出三棱錐F-ACD的體積，最后用兩個體積相減，即得多面體PABCF的體積．

解答：解：（Ⅰ）連接EF，
∵四邊形ABCD是菱形，∴對角線交點E為BD的中點，
又∵F為PD的中點，∴PB∥EF
∵PB?平面AFC，EF⊆平面AFC，∴PB∥平面AFC．…（6分）
（Ⅱ）∵PA=AB=2，ABCD是菱形，∴△ABD為等邊三角形
∴四邊形ABCD的面積S=2S_△ABD=2×

3

4

×2²=2

3

，S_△ACD=S_△ABD=

3

，
取AD的中點G，連接GF，
∵FG為△PAD的中位線，∴FG∥PA且FG=

1

2

PA=1
∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∴V_P-ABCF=V_P-ABCD-V_F-ACD

1

3

×2

3

×2-

1

3

×

3

×1=

3

．  …（12分）

點評：本題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關系，空間直線平行的證明，多面體體積的計算等知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬于中等題．