已知A(1,f'(1))是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象上的一點,點B為(x,ln(x+1)),向量
a
=(1,1)
,令f(x)=
AB
a

(1)求函數(shù)y=f(x)的表達式;
(2)若x>0,證明:f(x)>
2x2+3x-10
2(x+2)

(3)若x∈[-1,1]時,不等式
1
2
x2≤f(x2)+m2-
9
2
m-3
都恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)先求出
AB
,再由向量數(shù)量積的坐標運算法則得f(x)的解析式,求導(dǎo)后可得f'(1),從而可得函數(shù)y=f(x)的表達式
(2)構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)-
2x2+3x-10
2(x+2)
=ln(x+1)-
2x
x+2
,利用導(dǎo)數(shù)只需證明函數(shù)g(x)在(0,+∞)的下界大于零即可
(3)參變分離可得m2-
9
2
m-
11
2
≥-ln(x2+1)-
x2
2
x∈[-1,1]時恒成立,下面只需求函數(shù)h(x)=-ln(x2+1)-
x2
2
的最大值即可,利用導(dǎo)數(shù)可求這個值,再解不等式即可求實數(shù)m的取值范圍
解答:解:(1)∵A(1,f'(1)),B(x,ln(x+1)),∴
AB
=(x-1,ln(x+1)-f′(1))

∴f(x)=ln(x+1)+x-f'(1)-1,∴f′(x)=
1
x+1
+1
,∴f′(1)=
3
2
f(x)=ln(x+1)+x-
5
2

(2)設(shè)g(x)=f(x)-
2x2+3x-10
2(x+2)
=ln(x+1)-
2x
x+2
g′(x)=
1
x+1
-
4
(x+2)2
=
x2
(x+1)(x+2)2
>0

在(0,+∞)上是增函數(shù),又∵g(0)=0∴g(x)>0,∴f(x)>
2x2+3x-10
2(x+2)

(3)由
1
2
x2≤f(x2)+m2-
9
2
m-3
m2-
9
2
m-
11
2
≥-ln(x2+1)-
x2
2

設(shè)h(x)=-ln(x2+1)-
x2
2
,∴h′(x)=-
x(x2+3)
x2+1
∴當x∈[-1,0]時,h'(x)>0,h(x)為遞增;
當x∈[0,1]時,h'(x)<0,h(x)為遞減
∴h(x)max=h(0)=0,∴m2-
9
2
m-
11
2
≥0
,解得m≤-1或m≥
11
2

∴實數(shù)m的取值范圍是m≤-1或m≥
11
2
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的計算,導(dǎo)數(shù)證明不等式,導(dǎo)數(shù)求最值的方法,解題時要耐心細致,善于構(gòu)造新函數(shù)解決函數(shù)關(guān)系問題,對恒成立問題,要多加總結(jié)
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是可導(dǎo)函數(shù),且滿足
lim
x→0
f(1)-f(1-x)
x
=-1
,則在曲線y=f(x)上的點A(1,f(1))的切線斜率是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2008年湖北省荊州中學高考數(shù)學模擬試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知A(1,f'(1))是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象上的一點,點B為(x,ln(x+1)),向量,令
(1)求函數(shù)y=f(x)的表達式;
(2)若x>0,證明:;
(3)若x∈[-1,1]時,不等式都恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a>0,函數(shù)f(x)=ax-bx2.?

(1)當b>0時,若對任意x∈R都有f(x)≤1,證明a≤2;

(2)當b>1時,證明對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件是b-1≤a≤2;?

(3)當0<b≤1時,討論:對任意x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要條件.?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(理)已知點B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)順次為某直線l上的點,點A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0),…順次為x軸上的點,其中x1=a(0<a≤1).對于任意的n∈N*,△AnBnAn+1是以Bn為頂點的等腰三角形.

(1)證明xn+2-xn是常數(shù),并求數(shù)列{xn}的通項公式.

(2)若l的方程為y=,試問在△AnBnAn+1(n∈N*)中是否存在直角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

(文)已知函數(shù)f(x)=ax3x2+cx+d(a、c、d∈R)滿足f(0)=0,f′(1)=0,且f′(x)≥0在R上恒成立.

(1)求a、c、d的值.

(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f′(x)+h(x)<0.

(3)是否存在實數(shù)m,使函數(shù)g(x)=f′(x)-mx在區(qū)間[m,m+2]上有最小值-5?若存在,請求出實數(shù)m的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案