光澤圣農(nóng)公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年需投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品,還需增加投入0.25萬元,經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為500件,產(chǎn)品銷售數(shù)量為t件時(shí),銷售所得的收入為(0.05t-
120000
t2
)萬元.
(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x件,生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得到的利潤關(guān)于當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)為f(x),求f(x);
(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少件時(shí),當(dāng)年所獲得的利潤最大?
分析:(1)根據(jù)銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤=銷售所得的收入-銷售成本,建立函數(shù)關(guān)系即可;
(2)利用配方法,求得二次函數(shù)f(x)=-
1
20000
x2
+0.0475x-0.5在x=475時(shí)取得最大值,即獲得的利潤最大.
解答:解:(1)由題意可知,公司生產(chǎn)并銷售x件產(chǎn)品的銷售收入為(0.05x-
1
20000
x2
)萬元,
投入固定成本0.5萬元,另需增加投入
x
100
×0.25
萬元.
∴f(x)=0.05x-
1
20000
x2
-(0.5+
x
100
×0.25
)=-
1
20000
x2
+0.0475x-0.5,(0<x≤500);
(2)由f(x)=-
1
20000
x2
+0.0475x-0.5=-
1
20000
(x-475)2+10.78125

∴當(dāng)x=475時(shí),f(x)max=10.78125.
∴當(dāng)年產(chǎn)量為475(件)時(shí),當(dāng)年公司所得利潤最大,最大為10.78125萬元.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)模型的性質(zhì)與運(yùn)用,考查了簡單的建模思想方法,訓(xùn)練里利用配方法求二次函數(shù)的最值,是中檔題.
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