Question

已知f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)．且滿足f（6）=1．f（x）-f（y）=f（

x

y

）（x＞0，y＞0）．則不等式f（x+3）＜f（

1

x

）+2的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)條件求出令x=36，y=6，得f（36）=2，再根據(jù)f（x+3）＜f（

1

x

）+2轉(zhuǎn)為為f（x+3）-f（

1

x

）=f（x（x+3））＜2=f（36），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可得

解答： 解：∵f（x）-f（y）=f（

x

y

）（x＞0，y＞0），
令x=36，y=6，得
f（36）-f（6）=f（6）
∴f（36）=2f（6）=2，
∵f（x+3）＜f（

1

x

）+2，
∴f（x+3）-f（

1

x

）=f（x（x+3））＜2=f（36），
∵f（x）是定義域在（0，+∞）上的單調(diào)遞增函數(shù)，

x+3＞0 x＞0 x(x+3)＜36

∴0＜x＜

-3+3 17

2

故不等式f（x+3）＜f（

1

x

）+2的解集是（0，

-3+3 17

2

），
故答案為：（0，

-3+3 17

2

），

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、抽象函數(shù)及其應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．