Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最小值與最大值．
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向平移個單位，再沿y軸負方向平移2個單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，求y=g（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos²x-2cosxsinx+1
=（2分）
因此，函數(shù)f（x）的最小正周期為π（4分）
（2）因為
在區(qū)間上是減函數(shù)，
在區(qū)間上是增函數(shù)，
又（8分）
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為3，最小值為（10分）
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向平移個單位得（12分）
再沿y軸負方向平移2個單位得，
所以（14分）
分析：（1）將函數(shù)的表達式展開，得f（x）=2cos²x-2cosxsinx+1，再用三角函數(shù)的降冪公式和輔助角公式，得到f（x）=2+sin（2x+），最后可用周期的公式求出函數(shù)的最小正周期；
（2）區(qū)間上，π≤2x+≤，從而得出sin（2x+），最后得出函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為3，最小值為；
（3）將函數(shù)y=f（x）的圖象沿x軸正方向平移個單位，得到y(tǒng)=f（x-）的圖象，再沿y軸負方向平移2個單位得到y(tǒng)=f（x-）-2的圖象，說明g（x）=f（x-）-2，代入（1）的表達式即可．
點評：本題著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．對三角函數(shù)公式的記憶要求較高，同時還考查了函數(shù)圖象的平移的規(guī)律，是一道不錯的典型題．