Question

如圖1，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a，E是CD邊的中點，以AE為棱，將△DAE向上折起，將D變到D′的位置，使面D′AE與面ABCE成直二面角（圖2）．
（1）求直線D′B與平面ABCE所成的角的正切值；
（2）求證：AD′⊥BE；  
（3）求點C到平面AE D′的距離．

Answer 1

分析：（1）根據二面角的定義，作D′O⊥AE于O，連 OB，可得∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角，解直角△D′OB，即可求出直線D′B與平面ABCE所成的角的正切值；
（2）連接BE，則BE⊥AE于E，由線面垂直的性質，由（1）中結論D′O⊥平面ABCE，可得D′O⊥BE，結合線面垂直的判定定理，證得BE⊥平面AD′E后，易得AD′⊥BE；  
（3）由已知E是CD邊的中點，可得C點到平面AE D′的距離是B到平面AE D′的一半，由（2）結論可知BE長即為B到平面AE D′的距離，進而得到答案．

解答：解  （1）∵D′-AE-B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE．
作D′O⊥AE于O，連 OB，
∴D′O⊥平面ABCE．             
∴∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角．
∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°
∴O是AE的中點，
AO=OE=D′O=

2

2

a，∠D′AE=∠BAO=45°．…（2分）
∴在△OAB中，OB=

OA2+AB2-2•OA•ABcos45°

=

10

2

a．
∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=

D′O

OB

=

5

5

．…（4分）
（2）連接BE
∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E．
∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，…（6分）
∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′．…（8分）
（3）C點到平面AE D′的距離是B到平面AE D′的一半即

1

2

BE=

2

2

a…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，空間中直線與直線之間的位置關系，點到平面的距離計算，其中（1）的關鍵是確定∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角，（2）的關鍵是熟練掌握空間中線線垂直與線面垂直之間的相互轉化，（3）的關鍵是由已知得到C點到平面AE D′的距離是B到平面AE D′的一半，