Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足對?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，則{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素個數(shù)為________．

Answer 1

0或1
分析：由已知中函數(shù)f（x）滿足對?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，我們可得到函數(shù)f（x）為定義在R上的增函數(shù)，進而根據(jù)增函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得其圖象與直線y=a至多有一個交點，分析{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的幾何意義，即可得到答案．
解答：∵函數(shù)f（x）滿足對?x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）-f（x））＞0，
即t＞0時，f（x+t）-f（x）＞0，
t＜0時，f（x+t）-f（x）＜0，
即函數(shù)值隨著自變量的增大而增大，減小而減小
則函數(shù)f（x）為定義在R上的增函數(shù)
則函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a至多有一個交點
故{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素個數(shù)為0或1
故答案為：0或1
點評：本題考查的知識點是集合中元素個數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象，其中正確理解{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的幾何意義，即判斷函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a交點的個數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．