Question

【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，

直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)S和T，

滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程．第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程．第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系．第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論．．

試題解析：（Ⅰ）由題意，以橢圓的右焦點(diǎn)為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為，

∴圓心到直線的距離（*）

∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，

∴,， 代入（*）式得，∴，

故所求橢圓方程為

（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，設(shè)，

將直線方程代入橢圓方程得：，

∴，∴．

設(shè),，則，

由，

當(dāng),直線為軸， 點(diǎn)在橢圓上適合題意；

當(dāng)，得∴．

將上式代入橢圓方程得：，

整理得：，由知，，所以，

綜上可得．