Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在區(qū)間上存在不相等的實數(shù),使成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)有兩個不同的極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）問題轉化為求使函數(shù)在上不為單調(diào)函數(shù)的的取值范圍，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求出的范圍；（Ⅲ）先求出函數(shù)的導數(shù)，找到函數(shù)的極值點，從而證明出結論.

試題解析：（Ⅰ）當時，，．

由，解得，.

當時，＞0，f(x)單調(diào)遞增；

當時，＜0，f(x)單調(diào)遞減；

當時，＞0，f(x)單調(diào)遞增．

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅱ）依題意即求使函數(shù)在上不為單調(diào)函數(shù)的的取值范圍.

.設，則，.

因為函數(shù)在上為增函數(shù)，當，

即當時，函數(shù)在上有且只有一個零點，設為.

當時，，即，為減函數(shù)；

當時，，即，為增函數(shù)，

滿足在上不為單調(diào)函數(shù).

當時，，，所以在上成立

（因在上為增函數(shù)），所以在上成立，

即在上為增函數(shù)，不合題意.

同理時，可判斷在上為減函數(shù)，不合題意.綜上

(Ⅲ) ．

因為函數(shù)有兩個不同的極值點，即有兩個不同的零點，

即方程的判別式，解得.

由，解得，．

此時，.

隨著變化時，和的變化情況如下：

	＋		－	0	＋
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點.

所以為極大值，為極小值．

所以

因為，所以．所以