Question

某集團公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查每投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤5)． (1) 該公司將當(dāng)年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大? (2) 現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元，分別用于廣告銷售和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費x(百萬元)，可增加銷售額約為－x3＋x2＋3x(百萬元)，請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大?(注：收益＝銷售額－投入額)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：每投入t(百萬元)廣告費后增加收益f(t)(百萬元)，則f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0＜t≤3＝， 　　∴t＝2(百萬元)時，f(t)max＝4(百萬元)． 　　分析：列出收益關(guān)于t和x的函數(shù)關(guān)系式解題．
(2)	設(shè)用于技術(shù)改造的費用為x(百萬元)，則廣告費為(3－t)(百萬元)(0≤x≤3)，收益為g(x)，則g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3，x∈[0，3]． 　　由(x)＝－x2＋4＝0得x＝2或－2(舍去)． 　　當(dāng)0≤x＜2，(x)＞0，g(x)遞增；當(dāng)2＜x≤3，(x)＜0，g(x)遞減．∴當(dāng)x＝2時g(x)取最大值．即技術(shù)改造費為2百萬元，廣告費為1百萬元時收益最大． 　　點評：引進了導(dǎo)數(shù)之后，求多項式函數(shù)極值更方便了．