Question

設(shè)常數(shù)a＞0，(ax-

1

x

)5展開式中x³的系數(shù)為-

5

81

，則a=

 

，

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

1

x

）^r，整理后，令x的次數(shù)等于3，從而解得a，
（2）再求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，s_n=

a×(1-an)

1-a

，且

lim

n→∞

aⁿ=0（∵a＜1），從而得解．
方法2：由a=

1

3

＜1，可知數(shù)列a，a²…aⁿ是遞降等比數(shù)列，則

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數(shù)列的各項(xiàng)和，利用無窮遞降等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式，可得解．

解答：解：（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

1

x

）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1時(shí)，即（-1）c₅¹a⁴=-

5

81

，∴a=

1

3

．故答案為

1

3

（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=

a×(1-an)

1-a

，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

lim

n→∞

a×(1-an)

1-a

=

a

1-a

（∵a＜1時(shí)，

lim

n→∞

aⁿ=0）
=

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故答案為

1

2

．
方法2：由a=

1

3

，可知數(shù)列a，a²…aⁿ是遞降等比數(shù)列，
則

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示無窮遞降等比數(shù)列的各項(xiàng)和，
由無窮遞降等比數(shù)列的各項(xiàng)和公式（

lim

n→∞

sn=

a1

1-q

），
可知

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

a

1-a

═

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故答案為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題（1）主要考查二項(xiàng)式展開式特定項(xiàng)的系數(shù)的求法，需要熟記展開式的通項(xiàng)公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常見題型．
（2）主要考查等比數(shù)列求和公式及極限的運(yùn)算，需要注意：當(dāng)a的絕對(duì)值小于1時(shí)，

lim

n→∞

aⁿ=0，方法2：要記住無窮遞降等比數(shù)列各項(xiàng)和公式

lim

n→∞

s_n=

a1

1-q

．在選擇填空中可以加快速度．