Question

如圖，已知點G是邊長為1的正三角形ABC的中心，線段DE經過點G，并繞點G轉動，分別交邊AB、AC于點D、E；設，，其中0＜m≤1，0＜n≤1．
（1）求表達式的值，并說明理由；
（2）求△ADE面積的最大和最小值，并指出相應的m、n的值．

Answer 1

解：（1）如圖延長AG交BC與F，∵G為△ABC的中心
∴F為BC的中點，則有
∵，，
∴即
∵D、G、E三點共線
∴
故=3

（2）∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴|AD|=m，|AE|=n∴S_ΛADE=mn
由=3，0＜m≤1，0＜n≤1
∴n=，即．
∴S_ΛADE=mn=
設t=m-則m=t+（）
∴S_ΛADE=mn=（t++）
易知在為減函數，在為增函數．
∴t=，即，時，f（t）取得最小值，
即S_ΛADE取得最小值
又，
∴f（t）取得最大值是，
則S_ΛADE取得最大值，此時或
分析：（1）將向量用向量表達，由D、G、E三點共線，即可得到m和n的關系．
（2）由三角形面積公式，S_ΛADE=mn，由（1）可知=3，由消元法n=，轉化為m的函數求最值即可．
點評：本題考查平面向量基本定理和向量的表示、求函數的最值，考查消元和換元等方法．