【題目】定義：若數(shù)列滿(mǎn)足，存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，都有，則稱(chēng)數(shù)列有上界，是數(shù)列的一個(gè)上界，已知定理：?jiǎn)握{(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂（即極限存在）.

（1）數(shù)列是否存在上界？若存在，試求其所有上界中的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若非負(fù)數(shù)列滿(mǎn)足，（），求證：1是非負(fù)數(shù)列的一個(gè)上界，且數(shù)列的極限存在，并求其極限；

（3）若正項(xiàng)遞增數(shù)列無(wú)上界，證明：存在，當(dāng)時(shí)，恒有.

【答案】（1）存在，1；（2）見(jiàn)解析，極限1；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）確定，得到上界的最小值.

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明，再證明數(shù)列單調(diào)遞增，得到極限存在，最后計(jì)算極限.

（3）假設(shè)結(jié)論不成立，取，，推出矛盾，得到證明.

（1）易知：，

數(shù)列存在上界，上界中的最小值為1

（2）非負(fù)數(shù)列，先證明

當(dāng)時(shí)：成立.

假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即

當(dāng)時(shí)：

即也成立

所以恒成立，1是非負(fù)數(shù)列的一個(gè)上界，得證.

數(shù)列單調(diào)遞增

故數(shù)列的極限存在

設(shè)

（3）證明：假設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒有.

取滿(mǎn)足正項(xiàng)遞增數(shù)列無(wú)上界.

取，當(dāng)時(shí)，

這與題設(shè)矛盾

假設(shè)不成立

故存在，當(dāng)時(shí)，恒有.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，是等腰直角三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)分別作直線(xiàn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線(xiàn)的斜率分別為，，且，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖正方體的棱長(zhǎng)為a，以下結(jié)論不正確的是（　�。�

A. 異面直線(xiàn)與所成的角為

B. 直線(xiàn)與垂直

C. 直線(xiàn)與平行

D. 三棱錐的體積為

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿著折起，使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且滿(mǎn)足.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）函數(shù)是否有極值？若有，求出極值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由.

（2）若對(duì)任意，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f (x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g (x)＝x2＋ex－xex.

（1）當(dāng)x∈[1，e] 時(shí)，求f (x)的最小值；

（2）當(dāng)a＜1時(shí)，若存在x1∈[e，e2]，使得對(duì)任意的x2∈[－2，0]，f (x1)＜g (x2)恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓：（）,左、右焦點(diǎn)分別是、且,以為圓心,3為半徑的圓與以為圓心,1為半徑的圓相交于橢圓上的點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓：,為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),射線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)

①求的值；

②令,求的面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】

已知橢圓和拋物線(xiàn)有公共焦點(diǎn)F(1,0),的中心和的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)分別相交于A,B兩點(diǎn).

（Ⅰ）寫(xiě)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若，求直線(xiàn)的方程；

（Ⅲ）若坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，直線(xiàn)與橢圓有公共點(diǎn)，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案