Question

【題目】如圖,在直角梯形中, , 是的中點(diǎn),將沿折起,使得.

（Ⅰ）若是的中點(diǎn),求證: 平面;

（Ⅱ）求證:平面平面;

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】試題分析： 連接交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，由此能證明平面； 推導(dǎo)出，從而平面，由此能證明平面平面； 以為原點(diǎn),以所在的直線分別為軸軸， 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的大小

解析：（Ⅰ）證明:連接交于點(diǎn),連接,

在正方形中, 為中點(diǎn),又因?yàn)?/span>為中點(diǎn),

所以,

又因?yàn)?/span>平面, 平面,

所以平面.

（Ⅱ）由已知可得

又因?yàn)?/span>平面

所以平面

因?yàn)?/span>平面

所以平面平面

解:（Ⅲ）由（Ⅱ）知, 平面所以,又因?yàn)?/span>

所以平面

所以以為原點(diǎn),以所在的直線分別為軸, 軸, 軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則點(diǎn), , , , .

所以,,.

設(shè)平面的法向量為,

所以即

令,解得.

設(shè)平面的法向量為,

所以即

令,解得.

所以.

由圖可知,二面角為鈍角,所以二面角的大小為.