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已知直線l:3x-y+3=0,求:
(1)點P(4,5)關于l的對稱點;
(2)直線x-y-2=0關于直線l對稱的直線方程.
分析:(1)設P(x,y)關于直線l:3x-y+3=0的對稱點為P′(x′,y′),利用垂直、平分列出方程組,把點P(4,5)代入方程組,求出關于l的對稱點;
(2)利用(1)的結論,方程組中的x′,y′分別代換x-y-2=0中的x,y,可求直線x-y-2=0關于直線l對稱的直線方程.
解答:解:(1)設P(x,y)關于直線l:3x-y+3=0的對稱點為P′(x′,y′).
∵kPP′•k1=-1,即
y′-y
x′-x
×3=-1.①
又PP′的中點在直線3x-y+3=0上,
∴3×-+3=0.②
由①②得
x′=
-4x+3y-9
5
y′=
3x+4y+3
5

把x=4,y=5代入③及④得x′=-2,y′=7,
∴P(4,5)關于直線l的對稱點P′的坐標為(-2,7).
(2)用③④分別代換x-y-2=0中的x,y,得關于l的對稱直線方程為
-4x+3y-9
5
-
3x+4y+3
5
-2=0,化簡得7x+y+22=0.
點評:本題是中檔題,考查與直線關于點、直線對稱的直線方程的求法,注意垂直、平分的利用,以及代換方法,本題是解答對稱問題的通法,值得反思總結.
練習冊系列答案
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在平面直角坐標系xOy中,已知直線l:3x+y-5=0.
(1)求過點P(1,1)且與直線l垂直的直線的方程;
(2)設直線l上的點Q到直線x-y-1=0的距離為
2
,求點Q的坐標.

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已知直線l:3x-y+3=0,則點P(4,5)關于l的對稱點為
(-2,7)
(-2,7)

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A、4
B、
10
C、
14
D、5

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