如圖，在矩形ABCD中，AB>·AD，E為AD的中點，連結(jié)EC，作EF⊥EC，且EF交AB于F，連結(jié)FC.設(shè)＝k，是否存在實數(shù)k，使△AEF、△ECF、△DCE與△BCF都相似？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．
假設(shè)存在實數(shù)k的值，滿足題設(shè)．
①先證明△AEF∽△DCE∽△ECF.因為EF⊥EC，
所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE.
而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.
故得.又DE＝EA，所以.
又∠CEF＝∠EAF＝90°，所以△AEF∽△ECF.
②再證明可以取到實數(shù)k的值，使△AEF∽△BCF，
由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC，
因此要使△AEF∽△BCF，應(yīng)有∠AFE＝∠BFC，
此時，有，又AE＝BC，故得AF＝BF＝AB.
由△AEF∽△DCE，可知，
因此，AB2，所以，求得k＝.
可以驗證，當k＝時，這四個三角形都是有一個銳角等于60°的直角三角形，故它們都相似．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分線，DE⊥BE交AB于D，圓O是△BDE的外接圓．

(1)求證：AC是圓O的切線；
(2)如果AD＝6，AE＝6，求BC的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知和相交于A、B兩點，過A點作切線交于點E，連接EB并延長交于點C，直線CA交于點D，
  
（1）當點D與點A不重合時（如圖1），證明：ED2=EB·EC;
（2）當點D與點A重合時（如圖2），若BC=2，BE=6，求的直徑長.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA、PB是圓O的兩條切線，A、B是切點，C是劣弧AB（不包括端點）上一點，直線PC交圓O于另一點D，Q在弦CD上，且求證：

（1）；（2）∽

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

（2012•廣東）（幾何證明選講選做題）如圖，圓O中的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足∠ABC=30°，過點A作圓O的切線與 O C 的延長線交于點P，則圖PA=　_________　．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AC為圓O的直徑，弦BD⊥AC于點P，PC＝2，PA＝8，求tan∠ACD的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位線，BD交EF于P，已知EP∶PF＝1∶2，AD＝7cm，求BC的長．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD中，DF⊥AB，垂足為F，DF＝3，AF＝2FB＝2，延長FB到E，使BE＝FB.連結(jié)BD、EC，若BD∥EC，求△BCD和四邊形ABCD的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在中，，，，、為垂足，若AE=4，BE=1，則AC=   .

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