Question

已知雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），過左焦點F₁作斜率為

3

3

的直線交雙曲線的右支于點P，且y軸平分線段F₁P，則雙曲線的離心率是

3

．

Answer 1

分析：先求過焦點F₁（-c，0）的直線l的方程，進而可得P的坐標，代入雙曲線方程，結合幾何量之間的關系，即可求出雙曲線的離心率．

解答：解：由題意，過焦點F₁（-c，0）的直線l的方程為：y=

3

3

（x-c），
∵直線l交雙曲線右支于點P，且y軸平分線F₁P，
∴直l交y軸于點Q（0，

3

3

c）．
設點P的坐標為（x，y），則x+c=2c，y=

2 3 c

3

，∴P點坐標（c，

2 3 c

3

），
代入雙曲線方程得：

c2

a2

-

( 2 3 c 3 )2

b2

=1
又∵c²=a²+b²，∴c²=3a²，∴c=

3

a
∴e=

c

a

=

3

故答案為：

3

．

點評：本題考查雙曲線的幾何性質，考查學生的計算能力，確定P的坐標是關鍵．