已知與圓C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x軸于A點(diǎn),交y軸于B點(diǎn),O為原點(diǎn),|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為
2xy-2x-2y-1=0(x>0,y>0)
2xy-2x-2y-1=0(x>0,y>0)
分析:化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓的圓心和半徑,寫(xiě)出與圓C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線的截距式方程,化為一般式,由圓心到直線的距離等于半徑列出一關(guān)系式,設(shè)出A、B的中點(diǎn)坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到中點(diǎn)坐標(biāo)與切線在坐標(biāo)軸上的截距的關(guān)系,利用代入法可得線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.
解答:解:由x2+y2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,
所以已知圓的圓心為(1,1),半徑=1,
設(shè)直線方程為
x
a
+
y
b
=1.
即bx+ay-ab=0.
因?yàn)閳A心到切線距離等于半徑,
所以
|b+a-ab|
a2+b2
=1
,
(a+b-ab)2=a2+b2,
設(shè)AB中點(diǎn)為(x,y),則x=
a
2
,y=
b
2

即a=2x,b=2y,代入(a+b-ab)2=a2+b2
得(2x+2y-4xy)2=4x2+4y2,
整理得2x2y2+xy-2x2y-2xy2=0.
因?yàn)閍,b都不等于0,
所以x,y也不等于0.
則2xy+1-2x-2y=0
其中x=
a
2
>1,y=
b
2
>1.
所以線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為2xy-2x-2y-1=0(x>0,y>0).
故答案為2xy-2x-2y-1=0(x>0,y>0).
點(diǎn)評(píng):本題考查了軌跡方程,考查了直線和圓的關(guān)系,訓(xùn)練了代入法求軌跡方程,關(guān)鍵是對(duì)變量范圍的確定,屬于中檔題.
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已知與圓C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|OA|=a,|OB|=b
(a>2,b>2).
(1)求直線l與圓C相切的條件;
(2)在(1)的條件下,求線段AB的中點(diǎn)軌跡方程;
(3)在(1)的條件下,求△AOB面積的最小值.

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已知與圓C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).
(1)求a與b滿(mǎn)足的關(guān)系;
(2)在 (1)的條件下,求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程.

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已知與圓C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),

OA|=a,|OB|=b(a>2,b>2).

(Ⅰ)求證:(a-2)(b-2)=2;

(Ⅱ)求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程;

(Ⅲ)求△AOB面積的最小值.

 

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