Question

20．若a，b是異面直線，P是a，b外的一點，有以下四個命題
①過P點一定存在直線l與a，b都相交；
②過P點一定存在平面與a，b都平行；
③過P點可作直線與a，b都垂直；
④過P點可作直線與a，b所成角都等于50°．
這四個命題中正確命題的序號是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 如圖所示，由于a，b是異面直線，可知存在唯一一對平面α∥β，且a?α，b?β．設(shè)不在a，b上的任意一點為P．①若點P∈α或P∈β，則不能夠作直線l與a，b都相交；
②利用反證法和平行公理即可得出．
③過點P一定可作直線l⊥α，利用面面平行和線面垂直的性質(zhì)可得l⊥a，l⊥b．
④利用異面直線所成角定義判斷即可．

解答 解：如圖所示，∵a，b是異面直線，∴存在唯一一對平面α∥β，且a?α，b?β．
設(shè)不在a，b上的任意一點為P．
①若點P∈α或P∈β，則不能夠作直線l與a，b都相交，因此①不正確；
②假設(shè)過點P可作直線l∥a，l∥b，則a∥b，這與已知a，b是異面直線相矛盾．因此假設(shè)不成立，即不存在過點P的直線l與a，b都平行．
因此不正確．
③過點P一定可作直線l⊥α，∵α∥β，a?α，b?β，則l⊥a，l⊥b．
因此正確．
④過P點可作直線與a，b所成角都等于50°．正確．
綜上可知：③④正確．
故選C．

點評 本題考查了異面直線的意義及其性質(zhì)、線面面面平行與垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．