Question

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 .
（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）求證：；
（3）是否存在非零整數(shù)，使不等式
對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) ,
(2)根據(jù)題意，由于，∴.放縮法來得到證明。
(3)，由是非零整數(shù)，知存在滿足條件．

試題分析：(1）由.
當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）．  2分
當(dāng)時(shí)，
由，
∵，∴，則，
∴是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故．  4分
另法：易得，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明(略)．
（2）證法一：∵
， 4分
∴當(dāng)時(shí)，

.… 7分
當(dāng)時(shí)，不等式左邊顯然成立.         8分
證法二：∵，∴.
∴. 4分
∴當(dāng)時(shí)，
. 7分
當(dāng)時(shí)，不等式左邊顯然成立.  ……8分
（3）由，得，
設(shè)，則不等式等價(jià)于.
，……9分
∵，∴，數(shù)列單調(diào)遞增.          
假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切都成立，則
① 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得； ……11分
② 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，得，即.  12分
綜上，，由是非零整數(shù)，知存在滿足條件．  12分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用數(shù)列的單調(diào)性來證明不等式，以及分離參數(shù)的思想來求解參數(shù)的取值范圍。