Question

拋物線(xiàn)y=x²+4x上一點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角為45°，切線(xiàn)與x，y軸的交點(diǎn)分別是A，B，則△AOB的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意和導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出切線(xiàn)方程，然后求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求長(zhǎng)度及直線(xiàn)AB的方程，再求原點(diǎn)到AB得距離即為三角形邊AB上的高，再代入三角形的面積公式求解．
解答：解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由題意，y'=2x+4且過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率k=tan45°=1，
∴由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，1=2x+4，x=-；代入y=x²+4x解得，y=-，
∴P的坐標(biāo)為（-，-），
∴過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)的方程為y+=x+，即x-y-=0，
令y=0，x=，令x=0，y=-；∴A（，0），B（0，-）
∴|AB|==，直線(xiàn)AB的方程為x-y-=0；
∴點(diǎn)O（0，0）到直線(xiàn)AB的方程得距d==，
∴△AOB的面積S=×|AB|×d=．故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義如何求切點(diǎn)和切線(xiàn)方程，還有直線(xiàn)方程及三角形的面積求法，是一道好題．