Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“同域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)f（x）的一個“同城區(qū)間”．給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=cos

π

2

x；②f（x）=x²-1；③f（x）=|x²-1|；④f（x）=log₂（x-1）．
存在“同域區(qū)間”的“同域函數(shù)”的序號是

 

（請寫出所有正確的序號）

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)同域函數(shù)及同域區(qū)間的定義，再根據(jù)函數(shù)值域的求解即可找到①②③三個函數(shù)的一個同域區(qū)間，而通過判斷f（x）和函數(shù)y=x交點的情況，容易判斷函數(shù)④不存在同域區(qū)間．

解答： 解：①f（x）=cos

π

2

x，x∈[0，1]時，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域區(qū)間；
②f（x）=x²-1，x∈[-1，0]時，f（x）∈[-1，0]，所以②存在同域區(qū)間；
③f（x）=|x²-1|，x∈[0，1]時，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域區(qū)間；
④f（x）=log₂（x-1），判斷該函數(shù)是否有同域區(qū)間，即判斷該函數(shù)和函數(shù)y=x是否有兩個交點；
而根據(jù)這兩個函數(shù)圖象可以看出不存在交點，所以該函數(shù)不存在同域區(qū)間．
故答案為：①②③．

點評：考查對同域函數(shù)及同域區(qū)間的理解，二次函數(shù)、余弦函數(shù)的值域的求解，知道通過判斷函數(shù)f（x）和函數(shù)y=x圖象交點的情況來判斷函數(shù)是否存在同域區(qū)間的方法．