Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點．

(1)求證：CD⊥PD；

(2)求證EF∥平面PAD；

(3)當平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影， 　　∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD 　　(2)取CD中點G，連EG、FG， 　　∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，FG∥PD 　　∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD 　　(3)解：當平面PCD與平面ABCD成45°角時，直線EF⊥面PCD 　　證明：G為CD中點，則EG⊥CD，由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角即∠EGF＝45°，從而得∠ADP＝45°，AD＝AP 　　由Rt△PAE≌Rt△CBE，得PE＝CE 　　又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD．