Question

已知的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)比是10：1．
（1）求：含的項(xiàng)的系數(shù)；　 （2）求：展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和．

Answer 1

解：的展開式的通項(xiàng)為，
∵第五項(xiàng)的系數(shù)為C_n⁴（-2）⁴，第三項(xiàng)的系數(shù)為C_n²（-2）²，
∴C_n⁴（-2）⁴=10C_n²（-2）²，化簡(jiǎn)得（n-2）（n-3）=30，解得：n=8，
∴展開式的通項(xiàng)為T_r+1=
（1）令，解得：r=2，∴展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為：C₈²（-2）²=112
（2）∵的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和，即為的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和．
∴在中令x=1得3⁸，故的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為3⁸．
分析：由題意可得C_n⁴（-2）⁴=10C_n²（-2）²，可得n=8，從而可得展開式的通項(xiàng)為T_r+1=
（1）令，可求r，代入展開式中可求含的項(xiàng)的系數(shù)
（2）可求的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和．在中令x=1可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)求解展開式的指定的項(xiàng)的系數(shù)，及利用賦值法求解二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，注意本題（2）中的轉(zhuǎn)化．