Question

已知A為射線x+y=0（x＜0）上的動點，B為x軸正半軸上的動點，若直線AB與圓x²+y²=1相切，則|AB|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：圓的切線方程,直線與圓的位置關系

專題：綜合題,直線與圓

分析：設切點為（m，n），則切線方程為mx+ny=1，求出|AB|，再三角換元，即可得出結論．

解答： 解：設切點為（m，n），則切線方程為mx+ny=1，
∵A為射線x+y=0（x＜0）上的動點，B為x軸正半軸上的動點，
∴A（

1

m-n

，

1

n-m

），B（

1

m

，0），
∴|AB|²=（

1

m-n

-

1

m

）²+（

1

n-m

）²=

1

m2(n-m)2

，
∴|AB|=

1

m(n-m)

，
設m=cosα，n=sinα（α∈（

π

4

，

π

2

），則）|AB|=

1

1 2 sin2α- 1+cos2α 2

=

2

2 sin(2α- π 4 )-1

∵α∈（

π

4

，

π

2

），∴2α-

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∴|AB|≥

2

2 -1

=2

2

+2．
∴|AB|的最小值為2

2

+2．
故答案為：2

2

+2．

點評：本題考查圓的切線，考查三角函數知識，考查學生分析解決問題的能力，有難度．