Question

（2013•重慶）如圖，橢圓的中心為原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率e=

2

2

，過(guò)左焦點(diǎn)F₁作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點(diǎn)，|AA′|=4．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、P′，過(guò)P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．若PQ⊥P'Q，求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點(diǎn)A（-c，2）在橢圓上，結(jié)合橢圓的離心率，求出幾何量，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)出圓Q的圓心坐標(biāo)及半徑，由PQ⊥P'Q得到P的坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的方程后和橢圓聯(lián)立，化為關(guān)于x的二次方程后由判別式等于0得到關(guān)于t與r的方程，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得到關(guān)于t與r的另一方程，聯(lián)立可求出t與r的值，經(jīng)驗(yàn)證滿足橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外，結(jié)合對(duì)稱性即可求得圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意知點(diǎn)A（-c，2）在橢圓上，則

(-c)2

a2

+

4

b2

=1，即

a2-b2

a2

+

4

b2

=1①
∵離心率e=

2

2

，∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

②
聯(lián)立①②得：

4

b2

=

1

2

，所以b²=8．
把b²=8代入②得，a²=16．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

8

=1；
（Ⅱ）設(shè)Q（t，0），圓Q的半徑為r，則圓Q的方程為（x-t）²+y²=r²，
不妨取P為第一象限的點(diǎn)，因?yàn)镻Q⊥P'Q，則P（t+

2

2

r，

2

2

r）（t＞0）．
聯(lián)立

(x-t)2+y2=r2 x2 16 + y2 8 =1

，得x²-4tx+2t²+16-2r²=0．
由△=（-4t）²-4（2t²+16-2r²）=0，得t²+r²=8
又P（t+

2

2

r，

2

2

r）在橢圓上，所以

(t+ 2 2 r)2

16

+

( 2 2 r)2

8

=1．
整理得，t=

8- 1 2 r2

2 r

．
代入t²+r²=8，得

(8- 1 2 r2)2

2r2

+r2=8．
解得：r2=

16

3

．所以t2=

8

3

，t=

2 6

3

．
此時(shí)t+r=

2 6

3

+

4 3

3

＜4．
滿足橢圓上的其余點(diǎn)均在圓Q外．
由對(duì)稱性可知，當(dāng)t＜0時(shí)，t=-

2 6

3

，r2=

16

3

．
故所求橢圓方程為(x±

2 6

3

)2+y2=

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查方程組的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．