已知函數(shù)f(x)=x2(x+a).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a≠0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解:f(x)=x
2(x+1)=x
3+x
2f'(x)=3x
2+2x…(1分)
令3x
2+2x=0則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537646.png)
…(2分)
x | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/98903.png) | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/931.png) | ![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24780.png) | 0 | (0,+∞) |
f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
…(4分)∴當(dāng)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/39586.png)
時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537647.png)
…(5分)
當(dāng)x=0時(shí),f(x)
極小值=f(0)=0…(6分)
(Ⅱ)∵f(x)=x
3+ax
2∴f'(x)=3x
2+2ax=x(3x+2a)…(7分)
①當(dāng)a<0時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537648.png)
令f'(x)=3x
2+2ax>0得x<0或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537649.png)
…(8分)
令f'(x)=3x
2+2ax<0得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537650.png)
…(9分)∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537651.png)
,單調(diào)減區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537652.png)
.…(10分)
②當(dāng)a>0時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537653.png)
令f'(x)=3x
2+2ax>0得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537654.png)
或x>0…(11分)
令f'(x)=3x
2+2ax<0得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537655.png)
…(12分)∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537656.png)
,(0,+∞).單調(diào)減區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537657.png)
.…(13分)
綜上可知,當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537651.png)
,單調(diào)減區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537652.png)
;
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537656.png)
,(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/537657.png)
.
分析:(I)由已知中函數(shù)f(x)=x
2(x+a),令a=1,我們可以以求出函數(shù)的解析式,進(jìn)而求出其導(dǎo)函數(shù)的解析式,進(jìn)而分析出函數(shù)的單調(diào)性,最后求出f(x)的極值;
(Ⅱ)根據(jù)已知中函數(shù)f(x)=x
2(x+a),我們求出導(dǎo)函數(shù)的解析式,由a≠0可知我們要分a>0和a<0兩種情況進(jìn)行分類討論,分別確定出導(dǎo)函數(shù)的符號,進(jìn)而判斷出f(x)的單調(diào)區(qū)間.
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,其中解答的關(guān)鍵的根據(jù)已知函數(shù)的解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式,并判斷其符號.