設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋bln(x＋1)，其中b≠0．

(Ⅰ)當(dāng)b＞時，判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性；

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值點；

(Ⅲ)證明對任意的正整數(shù)n，不等式ln(＋1)＞－都成立．

答案：
解析：

　　解：函數(shù)的定義域為．

　　，令，則在上遞增，在上遞減，．當(dāng)時，，

　　在上恒成立．

　　即當(dāng)時，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．

　　(Ⅱ)分以下幾種情形討論：(1)由(I)知當(dāng)時函數(shù)無極值點．

　　(2)當(dāng)時，，時，

　　時，時，函數(shù)在上無極值點．

　　(3)當(dāng)時，解得兩個不同解，．

　　當(dāng)時，，，

　　

　　此時在上有唯一的極小值點．

　　當(dāng)時，

　　在都大于0，在上小于0，

　　此時有一個極大值點和一個極小值點．

　　綜上可知，時，在上有唯一的極小值點；

　　時，有一個極大值點和一個極小值點；

　　時，函數(shù)在上無極值點．

　　(Ⅲ)當(dāng)時，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒有．即當(dāng)時，有，

　　對任意正整數(shù)，取得


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋mx(m∈R)，則下列命題中的真命題是                        (　　)．

A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函數(shù)

B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函數(shù)

C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函數(shù)

D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1＋cosx(a>0)．

(1)當(dāng)a＝1時，證明：函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；

(2)若y＝f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，求正數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省高三10月月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

 對實數(shù)a和b，定義運算“⊕”：a⊕b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)⊕(x－x2)，x∈R，若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是

A．(－∞，－2]∪            B．(－∞，－2]∪

C. ∪              D. ∪

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年黑龍江省高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

、（12分）設(shè)函數(shù)f(x) ＝ x2＋bln(x＋1),

（1）若對定義域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求實數(shù)b的值；

（2）若函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）若b＝－1，證明對任意的正整數(shù)n，不等式成立；

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文卷 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋3，對任意x∈[1，＋∞)，f()＋m2f(x)≥f(x－1)＋3f(m)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　.


 

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