Question

已知f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（1）=n²，n=1，2，3…
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證：fn(

1

3

)＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）f_n（1）=a₁+a₂+…+a_n=n²，令S_n=f_n（1），既有S_n=a₁+a₂+…+a_n=n²，代入特殊值求解（2）運(yùn)用a_n=S_n-S_n-1公式求解．
（3）fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn
∴f_n（

1

3

）=

1

3

+3×（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）×（

1

3

）ⁿ①

1

3

•fn(

1

3

)=(

1

3

)2+3(

1

3

)3+5(

1

3

)4+…+(2n-1)(

1

3

)n+1②
利用錯(cuò)位相減的方法求解，注意化簡(jiǎn)運(yùn)算．

解答： 解：（1）由已知f_n（1）=a₁+a₂+…+a_n=n²，令S_n=f_n（1），既有S_n=a₁+a₂+…+a_n=n²，
所以得a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=3，a_，3=S₃-S₂=5，…
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
②當(dāng)n≥2時(shí)，a_，n=S_n-S_n-1=2n-1，對(duì)于n=1也適用，所以a_，n=2n-1．…
（3）fn(x)=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn
∴f_n（

1

3

）=

1

3

+3×（

1

3

）²+5（

1

3

）³+…+（2n-1）×（

1

3

）ⁿ①

1

3

•fn(

1

3

)=(

1

3

)2+3(

1

3

)3+5(

1

3

)4+…+(2n-1)(

1

3

)n+1②
①-②得

2

3

fn(

1

3

)=

1

3

+2(

1

3

)2+2(

1

3

)3+…+2(

1

3

)n-(2n-1)(

1

3

)n+1…=

1

3

+

2 9 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(2n-1)(

1

3

)n+1=

2

3

-

2n+2

3

(

1

3

)n，
∴fn(

1

3

)=1-

n+1

3n

，
  又n=1，2，3，…故fn(

1

3

)＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的概念，數(shù)列的求和，錯(cuò)位相減的方法，運(yùn)算量較大，做題仔細(xì)些．