Question

已知數(shù)列{a_n}中滿足a₁=15，a_n+1=a_n+2n，則

an

n

的最小值為（　�。�

• A、9
• B、7
• C、

  27

  4

• D、2

  15

  -1

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：數(shù)列{a_n}中滿足a₁=15，a_n+1=a_n+2n，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=n²-n+15，可得

an

n

=

n2-n+15

n

=n+

15

n

-1，利用導(dǎo)數(shù)考察函數(shù)f（x）=x+

15

x

（x≥1）的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}中滿足a₁=15，a_n+1=a_n+2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2+15
=

(n-1)(2+2n-2)

2

+15
=n²-n+15，
∴

an

n

=

n2-n+15

n

=n+

15

n

-1，
考察函數(shù)f（x）=x+

15

x

（x≥1）的單調(diào)性，f′(x)=1-

15

x2

，
由f′（x）＞0，解得x＞

15

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；由f′（x）＜0，解得1≤x＜

15

，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當n=4時，

an

n

的最小值為

42-4+15

4

=

27

4

．
故選：C．

點評：本題考查了等差數(shù)列的前n項和公式、“累加求和”、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．