A是橢圓長軸的一個端點,O是橢圓的中心,若橢圓上存在一點P,使∠OPA=
π2
,則橢圓離心率的范圍是
 
分析:利用兩個向量的數(shù)量積公式得到(-acost,-bsint)•(a-acost,-bsint)=0,e2=
1
1+cost
,得到
1
2
<e2<1,
從而求得離心率的范圍.
解答:解:設(shè)橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,設(shè) A (a,0),點P(acost,bsint).
 由題意得,
PO
 •
PA
=0,∴(-acost,-bsint)•(a-acost,-bsint)=0,
∴(-acost )•(a-acost )+b2sin2t=0,化簡可得 c2cos2t-a2cost+a2-c2=0,
∴e2cos2t-cost+1-e2=0,∴e2=
1
1+cost

又∵0<e<1,0<1+cost<2,∴
1
2
<e2<1,∴
2
2
<e<1,
故答案為
2
2
c
a
<1.
點評:本題考查兩個向量的數(shù)量積公式,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,得到e2=
1
1+cost
是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0),A是橢圓長軸的一個端點,B是橢圓短軸的一個端點,F(xiàn)為橢圓的一個焦點.若AB⊥BF,則該橢圓的離心率為( 。
A、
5
+1
2
B、
5
-1
2
C、
5
+1
4
D、
5
-1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A是橢圓長軸的一個端點,B1B是短軸,∠BAB1=60°,則橢圓的離心率為
6
3
6
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

A是橢圓長軸的一個端點,O是橢圓的中心,若橢圓上存在一點P,使∠OPA=,則橢圓離心率的范圍是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

 A是橢圓長軸的一個端點,O是橢圓的中心,若橢圓上存在一點P,使∠OPA=,則橢圓離心率的范圍是_________ 

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