Question

已知點P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在直線l：y=2x+2上，P₁為直線l與x軸的交點，數列{a_n}成等差數列，公差為1．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若問是否存在k∈N^*，使得f（k+5）=2f（k）-5成立？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）求證：（n≥2，n∈N*）．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意知P₁（-1，0）（1分）
∴a₁=-1，b₁=0（2分）
∴a_n=a₁+（n-1）•1=-1+n-1=n-2
∴b_n=2a_n+2=2（n-2）+2=2n-2
（Ⅱ）若k為奇數，
則f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5無解（6分）
若k為偶數，
則f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3∴k+3=2（2k-2）-5，解得k=4（8分）
綜上，存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．（9分）
（Ⅲ）證明：
（1）當成立．（11分）
（2）當n≥3，n∈N^*時，
λx₁²-2λx₁+λ-1=0．（12分）
=成立．（13分）
綜上，當成立．（14分）
分析：（Ⅰ）由題意知P₁（-1，0），a₁=-1，b₁=0，由此可知a_n=n-2，b_n=2n-2．
（Ⅱ）若k為奇數，則f（k）=a_k=k-2f（k+5）=b_k+5=2k+8∴2k+8=2（k-2）-5無解．若k為偶數，則f（k）=2k-2，f（k+5）=k+3，由此可知存在k=4使f（k+5）=2f（k）-5成立．
（Ⅲ），由此入手能夠證明，當成立．
點評：本題考查數列的性質及其綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答．