Question

已知矩陣M=

a 2 7 3

，
（1）若矩陣M的逆矩陣M-1=

b-2 -7a

，求a，b；
（2）若a=-2，求矩陣M的特征值．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，求出矩陣M，由M•M^-1=E，列出關于a，b的方程組即可求得a，b．．
（2）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值．

解答：解（1）由題意知：MM^-1=E，（2分）

a2 73

b-2 -7a

=

10 01

，
即：

ab-140 7b-213a-14

=

10 01

，

ab-14=1 7b-21=0 3a-14=1

，（6分）
∴解得：a=5，b=3．（8分）
（2）a=-2時，矩陣M=

-22 73

的特征多項式為f（λ）=

.

λ+2-2 -7  λ-3

.

=（λ+2）（λ-3）-14=λ²-λ-20，
令f（λ）=0，（12分）
得到M的特征值為λ₁=5，λ₂=-4．（14分）

點評：本題主要考查矩陣特征值與特征向量、逆矩陣、逆變換及其計算能力，難度不大，做題要仔細．