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13.已知橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的短軸長為2,離心率為63,直線l過點(-1,0)交橢圓E于A、B兩點,O為坐標原點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)求△OAB面積的最大值.

分析 (1)由題意得b=1,由{ca=63a2=1+c2得a=3,c=2,b=1求得橢圓方程;
(2)設直線l的方程為x=my-1,將直線方程代入橢圓方程,消去x,根據韋達定理代入三角形面積公式即可求得△AOB的面積,再換元配方即可得出結論.

解答 解:(1)由題意得b=1,由{ca=63a2=1+c2得a=3,c=2,b=1,
∴橢圓E的方程為x23+y2=1;
(2)依題意設直線l的方程為x=my-1,
聯立橢圓方程,得(m2+3)y2-2my-2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2mm2+3,y1y2=-2m2+3,
S△AOB=12×1×|y1-y2|=3m2+6m2+33,
設m2+3=t(t≥3),則S△AOB=31t122+34,
∵t≥3,∴0<1t13,
∴當1t=13,即t=3時,△OAB面積取得最大值為63,此時m=0.

點評 本題考查橢圓的方程與性質,考查直線與橢圓的位置關系、三角形面積的計算,考查計算能力,屬于中檔題.

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