Question

已知兩點M（-2，0），N（2，0），若以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，求實軸最長的雙曲線C的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

4-a2

=1，0＜a＜2，聯立

x2 a2 - y2 4-a2 =1 x+y=0

，得（4-2a²）x²+2a²x+a⁴-5a²=0，由此利用根的判別式能求出實軸最長的雙曲線C的方程．

解答： 解：設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

4-a2

=1，0＜a＜2，
聯立

x2 a2 - y2 4-a2 =1 x+y=0

，得（4-2a²）x²+2a²x+a⁴-5a²=0，
∵以點M、N為焦點的雙曲線C過直線x+y=1上的點Q，
∴△=4a⁴-4（4-2a²）（a⁴-5a²）≥0，
解得a²≤

5

2

，或a²≥4（舍）
∴實軸長為2a，最大為

10

∵c=

1

2

|MN|=2，
∴b²=c²-a²=

3

2

，
∴實軸最長的雙曲線C的方程為

x2

5 2

-

x2

3 2

=1．

點評：本題考查實軸最長的雙曲線方程的求法，是中檔題，考查學生分析解決問題的能力，綜合性較強．