Question

在邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，AC=8．現(xiàn)沿對(duì)角線BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值為

9

25

．
（1）求證：平面ABD⊥平面CBD；
（2）若M是AB的中點(diǎn)，求三棱錐D-MBC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由勾股定理得AO⊥OC，又AO⊥BD，從而AO⊥平面BCD，由此能證明平面ABD⊥平面CBD．
（2）由V_D-MBC=V_M-DBC，利用等積法能求出三棱錐D-MBC的體積．

解答： （1）證明：在菱形ABCD中，記AC，BD的交點(diǎn)為O，AD=5，
∴OA=4，OD=3，翻折后變成三棱錐A-BCD，
在△ACD中，AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC
=25+25-2×5×5×

9

25

=32，
在△AOC中，OA²+OC²=32=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，
又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．
（2）∵AO⊥平面DBC，AO=4，M是AB的中點(diǎn)，
∴M到平面DBC的距離h=2，
∵CO⊥BD，CO=4，BD=2OD=6，
∴S△DBC=

1

2

×4×6=12，
∴V_D-MBC=V_M-DBC=

1

3

×2×12=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的證明，考查三菱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．