Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

a

-1（a＞0）的圖象在x=1處的切線為l，求l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程，表示出三角形的面積利用基本不等式求出最值．

解答： 解：∵f′（x）=

2x

a

，∴f′（1）=

2

a

．
又f（1）=

1

a

-1，切線的斜率為：

2

a

，切點(diǎn)坐標(biāo)（1，

1

a

-1）．
∴f（x）在x=1處的切線l的方程是y-

1

a

+1=

2

a

（x-1）．
∴l(xiāng)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為
S=

1

2

|-

1

a

-1||

a+1

2

|=

1

4

(a+

1

a

+2)≥

1

4

×（2+2）=1．當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)等號(hào)成立．
l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．