Question

（03年上海卷）（14分）

在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，－3）為△OAB的直角頂點(diǎn).已知|AB|=2|OA|，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于零.

   （1）求向量的坐標(biāo)；

   （2）求圓關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的圓的方程；

   （3）是否存在實(shí)數(shù)a，使拋物線上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)？若不存在，說(shuō)明理由：若存在，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：（1）設(shè)得

  

   所以v－3>0,得v=8,故={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直線OB方程：

由條件可知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－3)²+y(y+1)²=10, 得圓心（3，－1），半徑為.

設(shè)圓心（3，－1）關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x ,y）則

故所求圓的方程為(x－1)²+(y－3)²=10.

（3）設(shè)P (x₁,y₁), Q (x₂,y₂) 為拋物線上關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)，則

故當(dāng)時(shí)，拋物線y=ax²－1上總有關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn).