Question

【題目】如圖，已知在長方體中，，，，點為上的一個動點，平面與棱交于點，給出下列命題：

①四棱錐的體積為20；

②存在唯一的點，使截面四邊形的周長取得最小值；

③當點不與，重合時，在棱上均存在點，使得平面；

④存在唯一的點，使得平面，且．

其中正確的命題是_____（填寫所有正確的序號）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由題意逐個討論所給的命題，判斷它們的真假．

解：①由題意可得，

，所以①正確；

②將長方體展開，如圖所示，恰好過點時，截面的周長為，

而在中，，所以最小值為，

由面面平行的性質，可得四邊形為平行四邊形，且為展開圖中唯一的點，所以②正確；

③點不與，重合，則不會為，即不在面內，

可作出的平面與平行，所以在棱上均有相應的，使得面，故③正確；

④因為，可得對角面為正方形，可得，

若時，由三垂線定理可得，即有面，

矩形中，，所以，所以，故④正確

綜上可得：正確為①②③④.

故答案為：①②③④.