Question

5．如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長均為a，D是側(cè)棱CC₁的中點．
（1）求證：平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）求平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

分析 （1）取AB₁的中點E，AB的中點F．連接DE、EF、CF．證明DE的平行線CF垂直平面ABB₁A₁，內(nèi)的相交直線AB，BB₁，即可證明平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）建立空間直角坐標系，求平面AB₁D的一個法向量，以及平面ABC的一個法向量，利用向量的數(shù)量積求平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。�

解答 證明：（1）取AB₁的中點E，AB的中點F．
連接DE、EF、CF．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長均為a，D是側(cè)棱CC₁的中點，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁．
∴四邊形CDEF為平行四邊形，∴DE∥CF．
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱．
△ABC為正三角形．CF?平面ABC，
∴CF⊥BB₁，CF⊥AB，而AB∩BB₁=B，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB₁A₁．
又DE?平面AB₁D．所以平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁．
解：（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，$\frac{a}{2}$，0），C（0，a，0），D（0，a，$\frac{a}{2}$）B₁（0，0，a），B（0，0，0），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，-$\frac{a}{2}$，a），$\overrightarrow{AD}$=（-$\frac{\sqrt{3}a}{2}，\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$），
設$\overrightarrow{n}$=（1，x，y）為平面AB₁D的一個法向量．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{ax}{2}+ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-\frac{\sqrt{3}a}{2}+\frac{ax}{2}+\frac{ay}{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
平面ABC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
設平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{8}{3}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{4}$．
∴平面AB₁D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，計算能力，是中檔題．證明平面與平面垂直主要轉(zhuǎn)化為證明一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面垂直即可，而證明直線與平面垂直，只需證明此直線與平面圖內(nèi)的兩條相交直線垂直；求二面角的大小新教材主要要求學生掌握用空間向量的方法來求：第一步建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并設出點的坐標；第二步分別求出二面角的兩個面的一個法向量；第三步代公式$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$即可求得，注意運算的準確性．