Question

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)滿足：
①對任意的，，當(dāng)時，有成立；
②對恒成立.求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.

試題分析：（1）先對求導(dǎo)，分析出導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞增的，并得.從而得到時，，當(dāng)時，.即求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先由（1）中的單調(diào)區(qū)間知異號.再證明結(jié)論：當(dāng)時，對任意的有成立；時，對任意的有成立.從而得出當(dāng)時，有成立.然后在的范圍內(nèi)研究對恒成立問題.通過在求的最值，再由最大值與最小值的差要小于或等于從而得到實數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1），
令，則，從而在上單調(diào)遞增，即在內(nèi)單調(diào)遞增，又，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.              4分
（2）①由（1）可知，當(dāng)， 時，必異號，不妨設(shè)，. 我們先證明一個結(jié)論：當(dāng)時，對任意的有成立；時，對任意的有成立.
事實上，    
構(gòu)造函數(shù)，
，(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立).又
當(dāng)時，，所以在上是單調(diào)遞減，此時，對任意的有成立.當(dāng)時，，所以在上是單調(diào)遞增，此時對任意的有成立；
當(dāng)時，，由于在上單調(diào)遞減，所以，.同理，.
當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時，有成立.         8分
②時，由（1）可得，
又
構(gòu)造函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又所以，當(dāng)時，即，
所以.
因為,若要題設(shè)中的不等式恒成立，只需成立即可.
構(gòu)造函數(shù),所以在上遞增. 又所以，由得,                 12分
又所以, 因此的取值范圍為.                 13分