Question

已知函數(shù)f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（1）=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）的圖象，并指出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）求不等式f(x)＞

1

4

的解集．

Answer 1

分析：本題考查的是分段函數(shù)問題．在解答時，對（Ⅰ）由f（1）=0即可求得m的值，從而獲得函數(shù)f（x）的解析式；對（Ⅱ）根據(jù)自變量的取值范圍不同分別不同段上的函數(shù)圖象即可，注意是兩部分開口不同的二次函數(shù)圖象，進而由圖象直接讀出函數(shù)的單調區(qū)間即可；對（Ⅲ）可采取通過函數(shù)解答不等式和分類討論直接解絕對值不等式兩種方法處理；
法二：對x|1-x|＞

1

4

，可以先根據(jù)變量x的范圍去絕對值，再解相應的不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（1）=|m-1|=0?m=1．
∴f（x）=x|1-x|=

-x2+x，x≤1 x2-x，x＞1.

所以函數(shù)f（x）的解析式為：f（x）=

-x2+x，x≤1 x2-x，x＞1

．


（Ⅱ）圖象如圖：
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間是(-∞，

1

2

]和[1，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間是[

1

2

，1]；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）=-x²+x在區(qū)間（-∞，1）上的最大值為f(

1

2

)=

1

4

，
又∵函數(shù)f（x）=x²-x在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
如圖可知，在區(qū)間（1，+∞）上存在x₀，有f（x₀）=

1

4

．
即令x²-x=

1

4

，解得x=

1± 2

2

．
又∵x∈（1，+∞），
∴x₀=

1+ 2

2

．
∴不等式f（x）＞

1

4

的解集是(

1+ 2

2

，+∞)．

解法二：∵x|1-x|＞

1

4

，
∴

x≤1 -x2+x＞ 1 4

①
或

x＞1 x2-x＞ 1 4

②
解①此不等式組無解，解②x＞

1+ 2

2

．
∴不等式f（x）＞

1

4

的解集是(

1+ 2

2

，+∞)．

點評：本題考查的是分段函數(shù)問題．在解答的過程當中充分體現(xiàn)了分類討論的思想、數(shù)形結合的思想、函數(shù)與方程的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會和反思．