Question

某糧倉是如圖所示的多面體，多面體的棱稱為糧倉的“梁”．現(xiàn)測(cè)得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AR、BF、CF、DE分別與相交的底梁所成角均為60°．
（1）求腰梁BF與DE所成角的大小；
（2）若不計(jì)糧倉表面的厚度，該糧倉可儲(chǔ)存多少立方米糧食？

Answer 1

解：（1）如下圖，過點(diǎn)E作EK∥FB交AB于點(diǎn)K，
則∠DEK為異面直線DE與FB所成的角，

∵DE=FB=4，EA，EK與AB所成角都是60°，∴AK=4，∴DK=，
在三角形DEK中，∵DE²+EK²=4²+4²=32=DK²，∴∠DEK=90°，
∴腰梁BF與DE所成的角為90°；
（2）如上圖，過點(diǎn)E分別作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，連接MN，則AB⊥平面EMN，
∴平面ABCD⊥平面EMN，過點(diǎn)E作EO⊥MN于點(diǎn)O，則EO⊥平面ABCD
由題意知，AE=DE=AD=4，
AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=，
∴O為MN中點(diǎn)，∴EO=，即四棱錐E-AMND的高為，
同理，再過點(diǎn)F作FP⊥AB于點(diǎn)P，F(xiàn)Q⊥CD于點(diǎn)Q，連接PQ，
原多面體被分割為兩個(gè)全等的四棱錐和一個(gè)直棱柱，且MP=16-2-2=12．
∴多面體的體積V=2V_E-AMND+V_PQF-MNE
=．
答：該糧倉可儲(chǔ)存立方米的糧食．
分析：（1）根據(jù)異面直線所成角的概念，過E作EK∥FB，連接DK，則DEK為異面直線DE與FB所成的角，然后通過求解三角形即可得到兩異面直線所成角；
（2）要求原多面體的體積，可以把原多面體分割成我們熟悉的柱體及椎體求體積分別過E，F(xiàn)作兩底梁的垂線，連接兩垂足后分割完成，然后直接利用柱體及錐體的體積求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力，考查了利用割補(bǔ)法求幾何體的體積，屬中檔題．