Question

下列命題：
①冪函數(shù)都具有奇偶性； 
②命題P：?x₀∈[-1，1]，滿足x02+x0+1＞a，使命題P為真的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜3；
③代數(shù)式sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)的值與角a有關(guān)；
④將函數(shù)f(x)=3sin(2x-

π

3

)的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)； 
⑤已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N），記S_n=a₁+a₂+…a_n，則S₂₀₁₁=m；
其中正確的命題的序號(hào)是

②⑤

  （請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫(xiě)出來(lái)）

Answer 1

分析：列舉反例，可得命題①為假；利用函數(shù)成立問(wèn)題的處理方法，可以判斷②的正誤；根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，及兩角和的正弦值，可以判斷③的對(duì)錯(cuò)；利用函數(shù)平移變換及三角函數(shù)的奇偶性的判斷方法，可以判斷④的對(duì)錯(cuò)；根據(jù)數(shù)列的分組求和法，利用數(shù)列各項(xiàng)的變化趨勢(shì)，可以得到⑤正誤，進(jìn)而得到答案．

解答：解：①冪函數(shù)y=x

1

2

，定義域?yàn)閇0，+∞），非奇非偶，故①不正確；
②當(dāng)x₀∈[-1，1]時(shí)，x₀²+x₀+1∈[

3

4

，3]
∴?x₀∈[-1，1]，滿足x02+x0+1＞a，使命題P為真的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a＜3為真命題；
③∵sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)=sinα+

3

2

cosα-

1

2

sinα-

3

2

cosα-

1

2

sinα=0恒成立，
∴代數(shù)式sinα+sin(

2π

3

+α)+sin(

4π

3

+α)的值與角α有關(guān)為假命題；
④將函數(shù)f(x)=3sin(2x-

π

3

)的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是f（x）=3sin（2x+

π

3

），是非奇非偶函數(shù)，故④為假命題；
⑤∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=m，a₂=n，a_n+2=a_n+1-a_n（n∈N），∴a₃=n-m，a₄=-m，a₅=-n，a₆=m-n，a₇=m，a₈=n，…
∴數(shù)列{a_n}的項(xiàng)以6為周期，呈周期性變化，且a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0，∴S₂₀₁₁=a₁+a₂+…+a₂₀₁₁=a₁=m
故⑤為真命題
故答案為：②⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，存在量詞，數(shù)列遞推式，兩角和與差的正弦函數(shù)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，其中熟練掌握這些基本的知識(shí)點(diǎn)是解答此類問(wèn)題的根本．