Question

如圖，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝AB，點E，M分別為A₁B，C₁C的中點，過點A₁，B，M三點的平面A₁BMN交C₁D₁于點N

(Ⅰ)求證：EM∥平面A₁B₁C₁D₁；

(Ⅱ)求二面角B－A₁N－B₁的正切值；

(Ⅲ)(文)設(shè)A₁A＝1，求棱臺MNC₁－BA₁B₁的體積V．

(理)設(shè)截面A₁BMN把該正四棱柱截成的兩個幾何體的體積分別為V₁，V₂(V₁＜V₂)，求V₁∶V₂的值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：設(shè)A1B1的中點為F，連接EF，F(xiàn)C1 　　∵E為A1B的中點　　∴EFB1B　　又C1MB1B 　　∴EFMC1　　∴四邊形EMC1F為平行四邊形 　　∴EM∥FC1　　∵EM平面A1B1C1D1， 　　FC1平面A1B1C1D1　　∴EM∥平面A1B1C1D1 　　(Ⅱ)解：作B1H⊥A1N于H，連接BH 　　∵BB1⊥平面A1B1C1D1　　∴BH⊥A1N 　　∴∠BHB1為二面角B－A1N－B1的平面角 　　∵EM∥平面A1B1C1D1，EM平面A1BMN 　　平面A1BMN∩平面A1B1C1D1＝A1N，∴EM∥A1N 　　又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1　　又∵A1F∥NC1， 　　∴四邊形A1FC1N是平行四邊形　　∴NC1＝A1F 　　設(shè)AA1＝a，則A1B1＝2a，D1N＝a 　　在Rt△A1D1N中，A1N＝＝a， 　　∴sin∠A1ND1＝＝ 　　在Rt△A1B1H中，B1H＝A1B1sin∠HA1B1＝2a·＝a 　　在Rt△BB1H中，tan∠BHB1＝＝＝ 　　(Ⅲ)(文)∵A1A＝1，∴A1B1＝B1C1＝2　　NC1＝BB1＝1　　C1M＝ 　　＝　　＝1　　V＝·2(＋＋1)＝ 　　(Ⅲ)(理)延長A1N與B1C1交于P，則P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C 　　又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C＝BM　　∴P∈BM 　　即直線A1N，B1C1、BM交于一點P　　又∵平面MNC1∥平面BA1B1， 　　∴幾何體MNC1－BA1B1為棱臺(沒有以上這段證明，不扣分) 　　∵＝·2a·a＝a2　　＝·a·a＝a2 　　∴棱臺MNC1－BA1B1的高為B1C1＝2a 　　∴V1＝·2a·(a2＋＋a2)＝a3 　　∴V2＝2a·2a·a－a3＝a3　　∴