已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)A(1，
3
2
)，且離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓C上有一點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn)M為P與點(diǎn)（2，3）的中點(diǎn)，求M點(diǎn)的軌跡方程．
分析：（1）把點(diǎn)A代入橢圓方程求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和b，則橢圓方程可得．
（2）設(shè)出M為（x，y）分別用點(diǎn)M的坐標(biāo)和（2，3）表示出P的坐標(biāo)代入橢圓方程，求得M的軌跡方程．
解答：解：（1）依題意可知
c
a
=
1
2
1
a2
+
9
4
b2
=1
解得a=2，b=
3

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+ 
y2
3
= 1
（2）設(shè)M（x，y）
則xp=2x-2，yp=2y-3代入橢圓方程得
(2x-2)2
4
+
(2y-3)2
3
= 1
∴求M點(diǎn)的軌跡方程為
(2x-2)2
4
+
(2y-3)2
3
= 1
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了學(xué)生對(duì)橢圓知識(shí)的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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